วันอาทิตย์ที่ 8 มกราคม พ.ศ. 2555

ความน่าจะเป็นเบื้องต้น

ความน่าจะเป็นเบื้องต้น (Introduction of Probability)

ความไม่แน่นอนนั้นมีอยู่ทั่วไปในวิถีแห่งการดำเนินชีวิต เช่น นักศึกษาที่
สนใจเรียนในมหาวิทยาลัยจะไม่ทราบเลยว่าจะเรียนสำเร็จหรือไม่ นักธุรกิจ
 เมื่อตัดสินใจลงทุนประกอบธุรกิจสักอย่างหนึ่งจะบอกไม่ได้เลยว่ากิจการ
ของเขาจะประสบความรุ่งเรืองหรือล้มเหลว ซึ่งนักวิทยาศาสตร์บรรยายความ
ไม่แน่นอนด้วยคำว่า ความสุ่ม (Random) การดำรงชีวิตภายใต้สภาวการณ์อัน
ไม่แน่นอนนี้ทำให้มนุษย์ห่วงใยผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นได้ผลักดันให้มนุษย์หา
ทางออกที่เป็นไปได้ เช่น การใช้โหราศาสตร์ เพื่อทำนายผลลัพธ์ที่เกิด
ขึ้นในอนาคต หรือทำนายผลลัพธ์แห่งการตัดสินใจประกอบกิจการของงาน
ว่าเป็นอย่างไร หากทำนายออกมาว่าเป็นผลลัพธ์อันไม่พึงปรารถนาจะได้สามารถปรับแก้ไขการตัดสินใจ
ของตนให้เหมาะสมนอกจากนั้นแล้วได้มีการใช้วิทยาศาสตร์ โดยหวังว่าจะสามารถใช้บรรยายความไม่
แน่นอนของการเกิดเหตุการณ์หนึ่ง ได้ และช่วยให้การตัดสินใจภายใต้สภาวการณ์ที่ไม่แน่นอนให้
เป็นการตัดสินใจที่ถูกต้อง ซึ่งรู้จักกันในนามของ ทฤษฎีความน่าจะเป็น

2.1 ปริภูมิตัวอย่างและเหตุการณ์

                                      
การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งไม่สามารถทราบว่าจะเกิดผลลัพธ์ใดจนกระทั่งการทดลองเสร็จสิ้น
ในทางสถิติใช้การทดลองสุ่ม เพื่ออธิบายวิธีการใด ๆ ที่ทำให้ได้ข้อมูลดิบ โดยผลที่ได้จากการทดลอง
จะขึ้นอยู่กับโอกาส ดังนั้นเราจึงไม่สามารถจะทำนายผลการทดลองด้วย ความแน่นอนได้ แต่ทราบเพียง
ว่าผลการทดลองจะเป็นอะไรได้บ้าง เช่น การโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง ซึ่งไม่อาจทราบได้ว่าด้านใด
จะปรากฏ แต่ก็พอจะทราบว่าไม่เกิดด้านหัวก็เกิดด้านก้อย
ปริภูมิตัวอย่าง( sample space ) หมายถึง เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม
สัญลักษณ์ที่ใช้คือ “ S “ และเรียกสมาชิกของ sample space ว่า จุดตัวอย่าง” (Sample point )
เหตุการณ์ ( event ) คือ เซตย่อยของ Sample space;
ตัวอย่าง
1. การทดลองสุ่ม คือ การโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ก่อน การโยนลูกเต๋าจะไม่สามารถทำนายล่วงหน้า
ได้ว่าจะขึ้นหน้าอะไร แต่ทราบผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดว่ามีได้ 6 ผลลัพธ์คือ หน้า 1, หน้า 2, หน้า 3,
หน้า 4, หน้า 5 และ หน้า 6
2. การทดลองสุ่ม คือ การโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ ก่อนการโยนเหรียญจะไม่สามารถทำนาย
ล่วงหน้าได้ว่าจะขึ้นหัวหรือก้อย แต่ทราบผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดว่าคือ หัวและก้อย
3. การทดลองสุ่ม คือ การหยิบไพ่ 1 ใบ จากสำรับซึ่งสับไพ่แล้วอย่างดี ก่อน การหยิบไพ่จะไม่ทราบว่า
จะได้ไพ่ใบไหน แต่ทราบว่าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมี 52 ผลลัพธ์
2.2   เทคนิคการนับ
1. เกณฑ์เบื้องต้นของการนับ
1.1 หลักเกณฑ์การคูณ (Mutiplicative Rule)
1.2 หลักเกณฑ์การบวก (Additive Rule)
1.1 หลักเกณฑ์การคูณ (Mutiplicative Rule)
ถ้าการทดลองหนึ่งประกอบด้วยการกระทำสองขั้นตอน ขั้นตอนแรกเลือกทำได้ p วิธีและหลังจาก
เลือกขั้นตอนแรกด้วย วิธีใดวิธีหนึ่งแล้ว ขั้นตอนที่สองเลือกทำได้ q วิธี จำนวนวิธีที่จะเลือกทำการ
ทดลองนี้จะเท่ากับ pq วิธี

ตัวอย่าง    มีอาหารคาว 4 อย่าง ขนมหวาน 3 อย่าง ให้นักเรียนเลือกอาหารคาวได้ 1 อย่างและ
ขนมหวานได้ 1 อย่าง จะมีวิธีเลือกได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ    สมมุติให้ อาหารคาวแทนด้วย ค1 2 3 4
ขนมหวานแทนด้วย ข1 2 3

สามารถเลือกอาหารคาวได้ 4 อย่าง เมื่อเลือกอาหารคาวได้แล้วก็จะเลือกขนมหวานซึ่งมีให้เลือก 3 อย่าง
 การเลือกขนมหวานเป็นการทดลองสุ่มครั้งที่สอง
ดังนั้น จำนวนที่เลือกได้ทั้งหมด 4 x 3 = 12 วิธี ซึ่งจะมีปริภูมิตัวอย่างดังนี้
S = {11 , 12 , 13 , 21 , 22 , 23 , 31 , 32 , 33 , 41 , 42 , 43}

ตัวอย่าง มีโรงแรม 4 แห่ง อยากทราบว่านักท่องเที่ยว 3 คน จะเลือกพักโรงแรมโดย ไม่ซ้ำกัน
เลยได้กี่วิธี
วิธีทำ
นักท่องเที่ยวคนแรก      เลือกที่พักได้    4 แห่ง
นักท่องเที่ยวคนสอง      เลือกที่พักได้    3 แห่ง
นักท่องเที่ยวคนสาม      เลือกที่พักได้    2 แห่ง
ดังนั้น นักท่องเที่ยว 3 คน จะเลือกพักโรงแรมโดยไม่ซ้ำกันได้ 4 x 3 x 2 = 24 วิธี

ตัวอย่าง เดินทางจากตำบล ก. ไปยังตำบล ข. ได้ 3 ทาง และเดินทางจากตำบล ข. ไปตำบล ค.
ได้ทาง  5 ทาง อยากทราบว่า จากตำบล ก.ไปตำบล ค. โดยผ่านตำบล ข. ได้กี่วิธี
วิธีทำ
จากตำบล ก. เดินทางไปยังตำบล ข. ได้ 3 ทาง
และจากตำบล ข. เดินทางไปยังตำบล ค. ได้ 5 ทาง
ดังนั้น ออกจากตำบล ก. ผ่านตำบล ข. และถึงตำบล ค. ได้ = 3 x 5 = 15 วิธี

ตัวอย่าง  มีตัวเลขอยู่ 5 ตัว คือ 1, 2, 3, 5, 8 จะสามารถนำไปสร้างเลขคู่บวกสี่หลักได้กี่จำนวน
(แต่ละหลักใช้เลขไม่ซ้ำกัน)
วิธีทำ
หลักหน่วย    เลือกได้ 2 วิธี ( เลือก 2 หรือ 8 )
หลักสิบ         เลือกได้ 4 วิธี
หลักร้อย        เลือกได้ 3 วิธี
หลักพัน         เลือกได้ 2 วิธี
ดังนั้น สามารถสร้างเลขคู่บวกสี่หลักได้ 2 x 4 x 3 x 2 = 48 จำนวน



อ้างอิงข้อมูลมาจาก  


วันเสาร์ที่ 7 มกราคม พ.ศ. 2555

(ต่อ) สถิติเบื้องต้น

ศัพท์ที่ใช้ในตารางแจกแจงความถี่

ศัพท์ที่ใช้ในตารางแจกแจงความถี่
   1. อันตรภาคชั้น (Class Interval) หรือเรียกสั้นๆ ว่า ชั้น หมายถึง ช่วงของคะแนนในแต่ละพวกที่แบ่ง
    อันตรภาคชั้นต่ำสุด หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าต่ำสุดอยู่
    อันตรภาคชั้นสูงสุด หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าสูงสุดอยู่
    อันตรภาคชั้นต่ำกว่า หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า
    อันตรภาคชั้นสูงกว่า หมายถึง อันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่ามากกว่า
   2. ความถี่ (Frequency) หมายถึง จำนวนข้อมูลที่มีอยู่ในแต่ละอันตรภาคชั้น
   3. ตารางแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution Table) หมายถึง ตารางที่เขียนเรียงลำดับข้อมูล และแสดงให้เห็นว่าแต่ละข้อมูล หรือกลุ่มข้อมูลมีความถี่เท่าใด
   4. ขอบล่าง (Lower Boundary) ของอันตรภาคชั้น หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ต่ำกว่าหนึ่งชั้น หรือขอบล่างเท่ากับค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นบวกกับค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ต่ำกว่าหนึ่งชั้นแล้วหารด้วย 2
   5. ขอบบน (Upper Boundary) ของอันตรภาคชั้น หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้น หรือขอบบนเท่ากับค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นบวกกับค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้น แล้วหารด้วย 2
    จะเห็นว่า ขอบบนของอันตรภาคชั้นหนึ่งย่อมเท่ากับขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้นเสมอ
   6. ความกว้างของอันตรภาคชั้น (Interval) หมายถึง ผลต่างระหว่างขอบบนและขอบล่างของอันตรภาคชั้นนั้น
   7. จุดกึ่งกลางชั้น (Middle Point) ของอันตรภาคชั้น หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างขอบล่างและขอบบนของอันตรภาคชั้นนั้น นิยมใช้สัญลักษณ์ X




การสร้างตารางแจกแจงความถี่

การสร้างตารางแจกแจงความถี่
    ควรทำเป็นขั้นตอนดังนี้
   1. หาพิสัย (Range) โดย พิสัย = ค่าสูงสุด - ค่าต่ำสุด
    2. ถ้าโจทย์กำหนดจำนวนอันตรภาคชั้นมาให้ เราต้องคำนวณหาความกว้างของแต่ละ อันตรภาคชั้น โดยใช้หลักเกณฑ์ดังนี้



    ถ้า I เป็นทศนิยม ให้ปัดขึ้นเป็นจำนวนเต็มเสมอ
    ถ้าโจทย์กำหนดความกว้างของอันตรภาคชั้นมาให้ เราสามารถหาจำนวนของอันตรภาคชั้น โดยใช้หลักเกณฑ์ได้ดังนี้


      ถ้าโจทย์กำหนดจุดกึ่งกลางมาให้ เราสามารถหาความกว้างของอันตรภาคชั้นได้ดังนี้
    ความกว้างของอันตรภาคชั้น = ผลต่างของจุดกึ่งกลางของชั้นที่อยู่ติดกัน
   3. เขียนอันตรภาคชั้นเรียงตามลำดับ แล้วดูว่าค่าจากการสังเกตแต่ละค่าของข้อมูลอยู่ในอันตรภาคชั้นใด ก็ให้ขีด “ | ” ลงในอันตรภาคชั้นไปเรื่อยๆ จนครบทุกค่าจากการสังเกตของข้อมูล
   4. นับจำนวนขีดในแต่ละอันตรภาคชั้นและสรุปออกมาเป็นจำนวน ซึ่งจำนวนดังกล่าวคือความถี่ (f)

  ตัวอย่าง จากข้อมูลต่อไปนี้ จงสร้างตารางแจกแจงความถี่ โดยให้มีอันตรภาคชั้นจำนวน 8 ชั้น
74 68 73 62 78 65 98 75 83 69
76 64 75 70 91 86 78 58 54 65
80 85 80 94 56 68 66 77 53 86
                 1.  หาพิสัย  =  ค่ามากที่สุด - ค่าน้อยที่สุด
                                             =   98-53
                                             =   45

                          2. หาความกว้างของอันตรภาคชั้น หรือจำนวนชั้น จากสูตร


3. เขียนอันตรภาคชั้นเรียงตามลำดับ โดยให้ค่าที่น้อยที่สุดอยู่ในชั้นที่ 1 และค่าที่มากที่สุดอยู่ในชั้นสุดท้าย ( ชั้นสูงสุด )
4. ดูว่าค่าของข้อมูลแต่ละค่าอยู่ในอันตรภาคชั้นใด ให้บันทึกในช่องรอยขีด
5. นับจำนวนรอยขีดในแต่ละอันตรภาคชั้น ใส่ในช่องความถี่
    จากข้อมูลข้างต้น ได้ตารางแจกแจงความถี่ดังนี้ ( จำนวน 8 ชั้น )
อันตรภาคชั้น
รอยขีด
ความถี่
53 – 58
59 – 64
65 – 70
71 – 76
77 – 82
83 – 88
89 – 94
95 - 100
 
4
2
7
5
5
4
2
1
รวม
 
30

    จากตารางข้างต้น
เรียก 53 ว่า ค่าน้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 1
                 เรียก 58 ว่า ค่ามากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 1
                 เรียก 59 ว่า ค่าน้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 2
                 เรียก 64 ว่า ค่ามากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ 2
  เรียก 58.5 ว่า ขอบบนของอันตรภาคชั้นที่ 1 หรือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่ 2
    เรียก 64.5 ว่า ขอบบนของอันตรภาคชั้นที่ 2 หรือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่ 3
    ดังนั้น อันตรภาคชั้น 53 – 58 จะครอบคลุมค่าข้อมูลตั้งแต่ 52.5 – 58
    อันตรภาคชั้น 59 – 64 จะครอบคลุมค่าข้อมูลตั้งแต่ 58.5 – 64.5

 จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น 

ในกรณีที่นำเสนอข้อมูลในลักษณะตารางแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น และเราไม่ทราบค่าข้อมูลเดิม แต่เราจำเป็นต้องนำค่าข้อมูลไปคำนวณ จึงต้องหาค่าใดค่าหนึ่งเป็นตัวแทนของค่าข้อมูลในอันตรภาคชั้นดังกล่าว ซึ่งคือค่าที่เป็นจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นนั้น โดยหาได้จาก

ตัวอย่าง จากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น

 


อ้างอิงข้อมูลมาจาก http://e-learning.snru.ac.th/els/somjit/judkong.htm