อนุกรม

อนุกรมเลขคณิต

ความหมายของอนุกรมเลขคณิต

กำหนด          a₁,  a₁ + d,   a₁ + 2d,   …,    a₁ + (n – 1)d                     เป็นลำดับเลขคณิต

        จะได้   a₁  +   (a₁ + d)  +  (a₁ + 2d)   +  …  +   (a₁ + (n – 1)d)   เป็นอนุกรมเลขคณิต

        ซึ่งมี   a₁  เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ  d  เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต

         d   เท่ากับ พจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n

ตัวอย่างของอนุกรมเลขคณิต  

1.            1  +  3  +  5  +  7  +  …  +  99           เป็น อนุกรมเลขคณิต

                        เพราะว่า 1,   3,   5,   …,   99                                 เป็น ลำดับเลขคณิต  

                        และมีผลต่างร่วมเท่ากับ  2

2.           25  +  20  + 15  +  10  +  …               เป็น อนุกรมเลขคณิต

                        เพราะว่า 25,   20,   15,  10,   …            เป็น ลำดับเลขคณิต  

                        และมีผลต่างร่วมเท่ากับ – 5

3.           7   +  14  +  21  +  28  +  …               เป็น อนุกรมเลขคณิต

                        เพราะว่า  7,   14,   21,  28,   …             เป็น ลำดับเลขคณิต  

                        และมีผลต่างร่วมเท่ากับ  7

การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

ให้  S_n  เป็นผลบวก   n   พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

        ที่มี   a₁  เป็นพจน์แรก และ  d    เป็นผลต่างร่วม   จะได้

               S_n  =     a₁  +   (a₁ + d)  +  … +  [a₁+(n – 2)d]  +   [a₁+(n –1)d]           -----(1)

        หรือ S_n=  [a₁ + (n –1)d]  +  [a₁ + (n – 2)d]  + …  +  (a₁ + d)    +      a₁    -----(2)

        สมการ (1)+(2)  จะได้

             2S_n    =   [2a₁ + (n –1)d]  +  [2a₁ + (n –1)d] + … + [2a₁ +  (n –1)d]  (n  พจน์ )

             2S_n    =    n[2a₁ +  (n –1)d]

 การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต   

ตัวอย่างที่ 1   จงหาผลบวกของจำนวนเต็มระหว่าง  100  และ  500  ที่  9 หารลงตัว

โจทย์ถาม ผลบวกของจำนวนเต็มระหว่าง  100  และ 500 
   ที่  9 หารลงตัว คือ   108  +  117  +  126  +  … +   495 
   เป็นอนุกรมเลขคณิต   มี  a₁  =  108,  d  =  9,  a_n =  495   

หาค่าของ  n จากสูตร      a_n         =      a₁ + (n –1)d

                      495       =     108  +  (n – 1)(9)

                         n         =      44

 จากสูตร      

                                                                           

 S₄₄         =            

                                                                                                             =               10,998

ผลบวกของจำนวนเต็มระหว่าง  100  และ 500  ที่  9 หารลงตัว เท่ากับ    10,998


อนุกรมเรขาคณิต

บทนิยาม อนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต   เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต  และ อัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต
จะเป็นอัตราส่วนร่วมของ อนุกรมเรขาคณิตด้วย

กำหนด      a₁,    a₁r,    a₁r²,   …,   a₁r          ^n-1เป็นลำดับเรขาคณิต

                        จะได้          a₁    +  a₁r  +  a₁r²  + … + a₁r  ^n-1เป็นอนุกรมเรขาคณิต

                ซึ่งมี       a₁  เป็นพจน์แรก  และ  r  เป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต

จากบทนิยาม  จะได้ว่า ถ้า  a₁,   a₂,   a₃,   …,   a_n   เป็น ลำดับเรขาคณิต ที่มี n  พจน์

จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป

a₁  +  a₂  +  a₃ +  …  +  a_n ว่า  อนุกรมเรขาคณิต

ความหมายของอนุกรมเรขาคณิต

                 อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต   เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต  และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต
จะเป็นอัตราส่วนร่วมของ อนุกรมเรขาคณิตด้วย

กำหนด      a₁,    a₁r,    a₁r²,   …,  a₁r  ^n-1เป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้            a₁    +  a₁r  +  a₁r²  + … + a₁r  ^n-1เป็นอนุกรมเรขาคณิต

ซึ่งมี       a₁  เป็นพจน์แรก  และ  r  เป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต

ตัวอย่างของอนุกรมเรขาคณิต

                        1.   2 + 4 + 8 + 16 + …             เป็น อนุกรมเรขาคณิต

                                เพราะ  2,  4,  8,  16,  …    เป็น ลำดับเรขาคณิต

                                และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ  2

                        2.   81 + 27 + 9 + 3 + …          เป็น อนุกรมเรขาคณิต  

                                เพราะ  81,  27,  9,  3,  …  เป็น ลำดับเรขาคณิต 

                                และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 

                        3.  3 + 3 + 3 + 3 + …             เป็น อนุกรมเรขาคณิต

                                เพราะ  3,  3,  3,  3,  …   เป็น ลำดับเรขาคณิต

                                และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ  1

การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

ให้     S_n          แทนผลบวก   n   พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

                        ซึ่งมี      a₁     เป็นพจน์แรก และ   r    เป็นอัตราส่วนร่วม

                        S_n       =     a₁    +    a₁r + a₁r²  + … + a₁r ^n-2+ a₁r ^n-1            --- (1)

                        สมการ (1) คูณ  r  จะได้

                        rS_n      =     a₁r + a₁r²+ a₁r³ + … + a₁r ^n-2+ a₁r ^n-1 +  a₁r ⁿ  --- (2)

                        สมการ (1) – (2)  จะได้

                       S_n  –  rS_n     =    a₁-a₁rⁿ

                       (1 –  r)S_n     =    a₁(1-rⁿ)

สรุป   ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

เมื่อ     S_n   แทนผลบวก   n   พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

                                                         a₁    แทนพจน์ที่ 1

                                                         a_n    แทนพจน์ที่   n

                                                         r    แทนอัตราส่วนร่วม  พจน์ที่ n+1 หารด้วยพจน์ที่ n

การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิต

ตัวอย่างที่ 1  อนุกรมเรขาคณิต   3   +   6   +   12   +   …    จะต้องบวกกันกี่พจน์  จึงจะได้ผลบวกเป็น   765

กำหนด อนุกรมเรขาคณิต  3   +   6   +   12   +   …    =    765
   ถามว่าจะต้องบวกกันกี่พจน์ คือหาค่า n  เมื่อ S_n  =  765

อนุกรมเรขาคณิต มี a₁  =  3,  r  =  2,  S_n  =  765
   หาค่าของ n  จะต้องใช้สูตร

อนุกรมนี้จะต้องบวกกัน    8    พจน์

อ้างอิงข้อมูลมาจาก http://www.snr.ac.th/elearning/suvadee/content2-2-3.htm