วันเสาร์ที่ 7 มกราคม พ.ศ. 2555

ลำดับ ( เลขคณิต)

นิยาม      ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่  1   เรียกว่า ลำดับ
                                ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น    { 1, 2, 3, …, n }  เรียกว่า    ลำดับจำกัด
                                และถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … }  เรียกว่า   ลำดับอนันต์

1    ความหมายของลำดับ
                        ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป
                        กล่าวคือ  ถ้า a  เป็น ลำดับจำกัด  จะเขียนแทนด้วย   a1,   a2,  a3,  …,  an
                        และ        ถ้า a  เป็น ลำดับอนันต์  จะเขียนแทนด้วย  a1,  a2,  a3,  …,  an,   
                        เรียก           a1   ว่า  พจน์ที่ 1  ของลำดับ        
                        เรียก          a2   ว่า  พจน์ที่ 2  ของลำดับ        
                        เรียก          a3   ว่า  พจน์ที่ 3  ของลำดับ        
                                           
                        และเรียก   an  ว่า  พจน์ที่ n  ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ
2.ตัวอย่างของลำดับ
                        1)   4,  7,  10,  13เป็น ลำดับจำกัด ที่มี
                                            a1             =           4 
                                          a2             =           7
                                          a3             =            10
                                          a4             =            13   
                                                    และ                 an             =        3n + 1
2)    – 2,  1,  6,  13,  …  เป็น ลำดับอนันต์ ที่มี
                                              a1             =           –2  
                                             a2             =                   1
                                             a3             =                   6
                                             a4             =                   13   
                                  และ   an             =                       n2 – 3
การเขียนลำดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แล้ว อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ที่ n  หรือพจน์ทั่วไปพร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมน

ตัวอย่าง
 1)      ลำดับ  4,  7,  10,  13                    อาจเขียนแทนด้วย
an     =  3n  +  1                                 เมื่อ  n    {  1,  2,  3,  4  }
  2)     ลำดับ   – 2 ,  1,  6,  13,    อาจเขียนแทนด้วย
                                an     =      n2 – 3                              เมื่อ  n  เป็นจำนวนเต็มบวก
เหต      ในกรณีที่กำหนดลำดับโดยพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป ถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมน  
ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็น  ลำดับอนันต์
3. ตัวอย่าง ลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับจำกัด หรือ ลำดับอนันต์
   ลำดับจำกัด  เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n พจน์แรก
   ลำดับอนันต์  เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

                 1)    6,  12,  18,  24,  30                                                                  เป็นลำดับจำกัด
2)    2,  4,  8,  16,  …,  ,                                                          เป็นลำดับอนันต์
3)    an   =   5n  – 2   เมื่อ   n    {  1,  2,  3,  …,  20 }               เป็นลำดับจำกัด
4)    an   =    n2  +  3                                                                        เป็นลำดับอนันต์

ลำดับเลขคณิต
บทนิยาม     ลำดับเลขคณิต   คือ  ลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1  ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ
และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า  ผลต่างร่วม  ( Common  difference )
ถ้า  a1,  a2,  a3,  …,  an,  an+1 ,  เป็นลำดับเลขคณิต  แล้ว
        จะได้  a2 – a1  =   a3   a2   =      =   an+1  an    เท่ากับ  ค่าคงที่ 
     เรียกค่าคงที่นี้ว่าผลต่างร่วม ” (Common difference)    เขียนแทนด้วย  d 
        จากบทนิยาม                d              =        an+1     an    
                                หรือ      an+1        =        an    +    d

ตัวอย่าง  จงเขียนสี่พจน์แรกของลำดับเลขคณิต  เมื่อกำหนดพจน์แรก เท่ากับ  2 และผลต่างร่วม
 เท่ากับ – 3

โจทย์กำหนดลำดับเลขคณิต  มี a1  =  2,  d  =  – 3
ให้เขียน  a1 ,  a2 ,  a3 ,  a4

ลำดับเลขคณิต 
     an + 1  =          an     +    d
        a2      =           a1     +    d           
                                                                                                  =             2       +   ( – 3  )                               
                                                                                                  =            – 1
                                      a3      =           a2       +    d        
                                                                                =             ( – 1 )  +  ( – 3  )           
                                                                               =              – 4
                     a4      =                 a3        +   d        
                                                                                =             ( – 4 )  +  ( – 3  )             
                                                                                =              – 7
ดังนั้นสี่พจน์แรกของลำดับนี้ คือ  2, – 1 , – 4, – 7
 


อ้างอิงข้อมูลมาจาก   http://www.snr.ac.th/elearning/suvadee/content1-1.htm

 
 

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

แสดงความคิดเห็น