ต่อ(ลำดับเรขาคณิต)

บทนิยาม       ลำดับเรขาคณิต  คือ  ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n  เป็นค่าคงที่ ทุกค่าของจำนวนนับ n  และเรียกค่าคงที่นี้ว่า  “ อัตราส่วนร่วม ” 

                                      ถ้า  a₁,    a₂,    a₃,    …,    a_n,    a_n+1   เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว จะได้   

เท่ากับค่าคงที่  เรียกค่าคงที่นี้ว่า  “ อัตราส่วนร่วม ” (Common  ratio)เขียนแทนด้วย r     

    

 ความหมายของลำดับเรขาคณิต

พิจารณา            ลำดับ    1,   2,    4,    8,    …

      ใช้แผนภาพการทำซ้ำดังแผนภาพที่แสดงอยู่ข้างล่างเพื่อช่วยให้นักเรียนมองเห็นสิ่งที่อยู่ใต้กระบวนการทำซ้ำที่ใช้ในการสร้างจำนวนอย่างต่อเนื่อง ลูกศรแสดงวงจรที่ทำให้เกิดการเวียนทำกระบวนการเดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก

   ลำดับ                 1,   2,    4,   8,   …

      ลำดับนี้เกิดจาก          1

                                                1   × 2                     =              2

                                                2   × 2                     =              4

                                                4   × 2                     =              8

                    เรียกลำดับนี้  ว่า  ลำดับเรขาคณิต

ซึ่ง                    a₂  ÷  a₁     =           2  ÷   1                =           2

                        a₃ ÷    a₂   =           4    ÷ 2                =           2

                        a₄   ÷  a₃   =           8    ÷ 4                =           2

      จะเห็นว่า  อัตราส่วนของพจน์หลัง หารด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน มีค่าคงที่ เท่ากับ  2

      เรียกค่าคงที่ว่า  อัตราส่วนร่วม  และเรียกลำดับนี้ว่า  ลำดับเรขาคณิต

 รูปทั่วไปของลำดับเรขาคณิต

                        ใช้แผนภาพการทำซ้ำดังแผนภาพที่แสดงอยู่ข้างล่างเพื่อช่วยให้นักเรียนมองเห็นสิ่งที่อยู่ใต้กระบวนการทำซ้ำที่ใช้ในการสร้างจำนวนอย่างต่อเนื่องในลำดับเรขาคณิต   ลูกศรแสดงวงจรที่ทำให้เกิดการเวียนทำกระบวนการเดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก

 

ดังนั้น  รูปทั่วไปของลำดับเรขาคณิต   คือ  a₁,    a₁r,    a₁r²,    a₁r³,    …,    a₁r^n-1

การหาพจน์ต่างๆของลำดับเรขาคณิต

                 ใช้แผนภาพการทำซ้ำดังแผนภาพที่แสดงอยู่ข้างล่างเพื่อช่วยให้นักเรียนมองเห็นสิ่งที่อยู่ใต้กระบวนการทำซ้ำที่ใช้ในการสร้างจำนวนอย่างต่อเนื่องใน ลำดับเรขาคณิต   ลูกศรแสดงวงจรที่ทำให้เกิดการเวียนทำกระบวนการเดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก

ถ้าให้   a₁,   a₂,   a₃,   …,   a_n,   ...              เป็นลำดับเรขาคณิต
โดยที่    a₁  แทนพจน์แรก   และ r  เป็นอัตราส่วนร่วม   ซึ่งไม่เท่ากับ 0
จะเขียนพจน์อื่นๆของลำดับเรขาคณิตในรูปของ  a₁  และ  r  ได้ดังนี้

                                     a₂                                                                      =             a₁r

                                    a₃           =      a₂ r       =            (a₁r)r           =            a₁r²

                                    a₄           =      a₃ r       =            (a₁r²)r         =             a₁r³

                                    ^{.                                                                                           .}

                                   ^{.                                                                                             .}

                                  a_n                                                                         =             a₁r^n-1

พจน์ทั่วไป หรือพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต  คือ

                                       เมื่อ  a_n คือ พจน์ที่ n และ  a₁  คือ พจน์
                  r    คือ อัตราส่วนร่วม เท่ากับ พจน์ที่ n + 1 หารด้วยพจน์ที่ n   

อ้างอิงข้อมูลมาจาก http://www.snr.ac.th/elearning/suvadee/content1-2-2.htm